Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Schräglinien g und h?
Der Abstand zwischen zwei Schräglinien g und h ist die Länge des Verbindungssegments, das senkrecht zu beiden Geraden g und h steht.
Lösungsmöglichkeit 1: Verwendung einer Hilfsebene
Idee:
1. Zeichnen Sie eine Hilfsebene E, die g enthält und parallel zu h ist.
2.
Konvertieren Sie E in Normal-/Koordinatenform.
3. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes h von der Hilfsebene E.
1. Schritt: Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf
Da g auf der Ebene liegen sollte, wählen wir Punkt g als Punkt der Ebene. Zusätzlich können wir als ersten Richtungsvektor der Ebene den Richtungsvektor der Linie g wählen.
Da die Linie h parallel zur Ebene sein sollte, wählen wir den Richtungsvektor h als zweiten Richtungsvektor der Ebene.
Die Parametergleichung der Ebene lautet daher:
2.
Schritt: Normalengleichung der Ebene
Das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren ergibt einen Normalenvektor Level:
|
=
Das ist also die Normalgleichung oder Ebenenkoordinatengleichung:
= | 0 |
| = | 0 |
| ||||||||||
| = | 0 |
3.
Schritt: Abstand eines Punktes auf der Linie h von der Ebene
Da die Linie h parallel zur Ebene verläuft, können Sie einen beliebigen Punkt auf h (z. B. Punkt B) auswählen, um den Abstand von h zur Ebene zu bestimmen. In der Abbildung oben wird dieser Abstand als roter Abstand von Punkt B zum Lotpunkt F angezeigt.
Berechnung des Abstands von B zur E-Ebene:
Hinweis: Die B-Koordinaten, die für die x-Koordinaten verwendet wurden, werden in Blau angezeigt.
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Lösungsmöglichkeit 2: Verbindung verwenden Vektor
Idee:
Erstellen Sie einen Vektor, der einen beliebigen Punkt auf der Linie g mit einem Punkt auf der Linie h verbindet.
2. Bestimmen Sie λ und μ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g und senkrecht zu h steht.
3. Berechnen Sie die Länge des vertikalen Verbindungsvektors.
Verbindungsvektor:
2.
Schritt: Bestimmen Sie λ und μ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g und senkrecht zu h steht:
| = | multiplizieren | ||||||||
| = | zusammenfassen | ||||||||
= | Gleichung I | |||||||||
| = | ausmul Geben Sie | |||||||
| = | zusammenfassen | |||||||
= | Gleichung II | ||||||||
Die Gleichungen I und II bilden ein Gleichungssystem, das mithilfe von GTR gelöst werden kann.
| = | Gleichung II | |||
= | zusammenfassen | ||||
= | |||||
= | :57 | ||||
= | |||||
Eingebaut in Gleichung Ia:
3.
Schritt: Länge des vertikalen Verbindungsvektors:
Das Ergebnis selbst in sich selbst:
| = |