Ableitung textaufgaben

Lösungen

Die Potenzregel beschreibt, wie Sie einen Ausdruck mithilfeder Form xⁿ ableiten. Sie multiplizieren x mit dem Exponenten und berechnen den Exponenten - 1.

xⁿ ⇒ n • x^n-1

1. f(x) = 5x + 2
   f'(x) = 5 • 1 • x^1-0 = 5 • x⁰ = 5
   
   
2. f(x) = 3x²
   f'(x) = 2 • 3x^2-1 = 6x
   
3. f(x) = 5x³ + 2x
   f'(x) = 3 • 5x² + 2
   
   
4. f(x) =
   
   Um die Ableitung zu erstellen, wandeln Sie die Wurzel in eine Potenz um.

   Sie können dann die Potenzregel verwenden, um die Ableitung zu erstellen.
   
   f'(x) =
   
   

5. f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 8x² - 6x + 4
   
   Da die einzelnen x-Terme durch ein Plus oder Minus verbunden sind, können Sie jede Ableitung einzeln und durch Kombination von Rechenzeichen wieder bilden zusammen.
   
   f'(x) = 4 • 3x^4-1 - 3 • 2x^3-1 + 2 • 8 • x^2-1 - 6 • x^1-1
   f'(x) = 4 • 3x³ - 3 • 2x² + 2 • 8 • x¹ - 6 • x⁰
   f'(x) = 12x³ - 6x² + 16x - 6

Ableitung mit Sinus und Cosinus

Sie können auch Sinus und Cosinus ableiten.

Schauen Sie sich einige Übungen an:

1. f(x) = sin(x)
2. f(x) = 2 • cos(x)
3. f(x) = -sin(x)
4. f(x) = sin(3x)
5. f(x) = x • cos(2x - 1)

Lösungen

Die Ableitungen von Sinus und Cosinus können als Kreis dargestellt werden. Dieser Kreis dient als Gedächtnisstütze:

1. f(x) = sin(x)
   
   Um die Ableitung des Sinus mithilfe der Kreisdarstellung ableiten zu können, müssen Sie von sin(x) aus einen Schritt weiter in Richtung des Pfeils gehen.

   Dadurch gelangen Sie zur ersten Ableitung von cos(x).
   
   f'(x) = cos(x)
   
   

2. f(x) = 2 • cos(x)
   f'(x) = 2 • (- sin(x)) = -2 • sin(x)
   
   
3. f(x) = - sin(x)
   f'(x) = - cos(x)
   
   
4. f(x) = sin(3x) → Kettenregel
   
   Die Ableitung des Termes in Klammern ist 3. Sie multiplizieren dieses Teilergebnis mit der Ableitung des Sinus.
   
   f'(x) = 3 • cos(3x)
   
   
5. f(x) = x • cos(2x) - 1) → Produktregel
   
   u(x) = x ⇒ u'(x) = 1
   v(x) = cos(2x - 1) ⇒ v'(x) = 2 • (- sin(2x - 1)) = -2 • sin(2x - 1) → Kettenregel
   
   Sobald u(x) und v(x) bestimmt sind, können Sie die Ergebnisse einfügen und ihre Ableitungen in dieProduktregelformel:
   
   f'(x) = u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x)
   f'(x) = 1 • cos(2x - 1) + x • (-2 • sin(2x - 1))
   f'(x) = cos(2x - 1) - 2x • sin(2x - 1)

Ableitungsproblem

Berechnen Sie denPunkt der Funktion, bei demSteigung = 0 ist.

f(x) = 3x² + 2x - 4

Lösung:

Sie können dieSteigungan einem bestimmten Punkt der Parabel mit1 ermitteln. Ableitungout:

f'(x) = 6x + 2

Um den Punkt zu bestimmen, an dem die Steigung = 0 ist, setzen Sie1.

Die Ableitung ist 0:

Die Funktion f(x) hat bei x = eine Steigung von 0. Dies kann grafisch ermittelt werden, indem der untere Punkt der Funktion ermittelt und eingezeichnet wird.

Horizontale Tangenten

Bestimmen Sie alle Punkte, an denen die Funktion f(x) = 1/3x³ + 4x² + 3x + 8 eine horizontale Tangente hat:

Lösung:

Bestimmen Sie dazu zunächst die 1.

Ableitung von f(x):

f'(x) = x² + 8x + 3

Da die 1. Ableitung irgendwann die Steigung von f(x) beschreibt, setzen Sie f'(x) = 0:

f'(x) = 0
x² + 8x + 3 = 0
1x² + 8x + 3 = 0

Da es sich um einequadratische Gleichung handelt, wird eineMitternachtsformel benötigt, um beide Lösungen zu berechnen.

Bestimmen Sie dazu a, b und c, die Sie dann in die Formel einsetzen:

a = 1 und b = 8 und c = 3

x_1,2 =

x₁ = -0,4 und x₂ = -7,6

Die Funktion f(x) hat in Position x₁ = -0,4 und x₂ = -7,6 der niedrigste oder höchste Punkt und damit die horizontale Tangente.

Textaufgabe mit Ableitung

Die Funktion f(x) = -0,02x³ - 0,09x² + 1,35x + 7,5 beschreibt das Intervall [-10; 6] Achterbahnfahrt.

Berechnen Sie die beiden Stellen, an denen die Achterbahn horizontal steht.

Lösung:

Ein horizontaler Achterbahnwagen befindet sichan einem Punkt der Achterbahn, an dem die Steigung 0 ist.

Um diesen Punkt zu finden, setzen Sie die erste Ableitung der Funktion gleich 0.

f'(x) = -0,02 • 3 • x² - 0,09 • 2 • x + 1,35

f'(x) = 0
-0,02 • 3 • x² - 0,09 • 2 • x + 1,35 = 0
-0,06x² - 0,18x - 1,35 = 0

Jetzt benötigen Sie die Nordformel:

a = -0,06 und b = -0,18 und c = 1,35

x_1,2 =

x₁ = -6,47 und x₂ = 3,47

Der Achterbahnwagen befindet sich in einer horizontalen Position mit x₁ = -6,47 und x₂ = 3,47.

Aus demFunktionsgraphen können wir ersehen, dass x₁ deruntere Punkt und x_{2 derobere Punkt von f(x) ist.}

Berechnen Sie die Tangente an einem bestimmten Punkt

Bestimmen Sie die Tangente g(x) am Punkt x = 2 der Funktion f(x) = -x² + x + 10.

Lösung:

Umdie Steigung einer Funktion berechnen zu können, benötigen Sie1.

DieAbleitung dieser Funktion.

f'(x) = -2 • x + 1

Die Steigung der Tangente g(x) an einem Punkt x hatdie gleiche Steigung wie die Funktion f(x)an diesem Punkt. Setzen Sie daher x = 2 in die erste Ableitung ein, um die Steigung zu bestimmen.

f'(2) = -2 • 2 + 1 = -4 +1 = -3

Dann setzen Sie die Steigung m = -3 in dieGeradengleichungy = mx + b ein.

g(x): y = -3 • x + b

Umdie Funktion Tangens bestimmen zu können, fügen Sie einen Punkt ein für x und y, die sowohl auf der Funktion f(x) als auch auf der Tangente g(x) liegt.

Sinusableitung

Großartig!

Sie haben einige Beispiele zur Ableitung berechnet.

Möchten Sie die Theorie zu den Ableitungsregeln noch einmal wiederholen? Dann schauen Sie sich unser Video an!