Wenn Sie nur an dem Abstand zwischen zwei diagonalen Linien interessiert sind und nicht die Koordinaten der Punkte benötigen, an denen sich die Linien einander nähern, können Sie den Abstand am schnellsten berechnen, indem Sie die Formel verwenden. Diese Formel wird kurz abgeleitet.
Unten ist ein Beispiel.
Formel für den Abstand zwischen Schräglinien
Die Linien $g:\vec x=\vec p+t\,\vec u$ und $h:\vec x=\vec q+s\,\vec v$ sind schräg; Der Vektor $\vec n$ steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren.
Dann ist der Abstand zwischen diesen Linien $d=\dfrac{\left|\left( \vec q-\vec p\right)\cdot \vec n\right|}{\left|\vec n\right|}$.
Diese Formel kann auch als $d=\left|\left( \vec q-\vec p\right)\cdot \vec n_0\right|$ gefunden werden. In diesem Fall wird der Nenner $|\vec n|$ zum Zähler des Normalenvektors addiert und der Einheitsvektor wird zu $\vec n_0=\dfrac{\vec n}{|\vec n|}$.
Diese Form scheint prägnanter zu sein, bringt aber in tatsächlichen Berechnungen keine Vorteile.
Begründung der Formel
Es ist kein Zufall, dass diese Formel mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene übereinstimmt. Die Hilfsebene ist so konstruiert, dass sie eine der beiden Geraden enthält und parallel zur anderen Geraden verläuft.
Erweitern Sie dazu die Linie mithilfe des Richtungsvektors der anderen Linie zu einer Ebene (da die Richtungsvektoren von Schräglinien linear unabhängig sind, entsteht jeweils eine Ebene).
Die Abbildung unten zeigt beide Hilfsebenen, auch wenn nur eine benötigt wird.
Wenn wir $E_g:\vec x=\vec p+t\,\vec u+r\,\vec v$ als Hilfsebene wählen, erstellen wir sie mit dem entsprechenden Normalenvektor in Normalform $E_g:(\vec x-\color{#f00}{\vec p})\cdot \vec n=0$.
Der Abstand zwischen diesen beiden Geraden ist nun gleich dem Abstand des Punktes $\color{#18f}{Q}$ von der Ebene $E_g$ und wir kennen die folgende Abstandsberechnung: n\right|}$.
Beispiel
Aufgabe: Finden Sie den Abstand zwischen der Geraden $g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\2 \end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$ und $h:\vec x=\begin{pmatrix}3\\-7\\2\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}$.
Lösung: Die Vorzeichen in den Richtungsvektoren zeigen sofort, dass die Linien es nicht sind parallel.
Zuerst benötigen wir einen Normalenvektor, den wir durch Kreuzprodukt oder - falls er nicht bekannt ist - mithilfe des Systems „Gleichungen angeben“ berechnen können.
Da die Länge für das hier gewählte Muster keine Rolle spielt, können wir ein beliebiges Vielfaches wählen. Damit bezeichnen wir einen „einfachen“ Vektor (kleinste Zahlen, aber keine Brüche).
Natürlich können Sie das Vektorprodukt auch unverändert verwenden.
Methode 1: Vektorprodukt. Durch Faktorisieren von $-2$ erzeugen wir einfachere Zahlen.
$\vec u\times\vec v=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9+1\\3+3\ \-1-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\6\\-10\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\quad \text{choose } \vec n=\begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}$
Methode 2: System von Gleichungen.
Indem wir $n_3=5$ wählen, vermeiden wir Lücken.
Um den Abstand zu berechnen, fügen Sie in die Formel ein:
$\begin{align*} d&=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}3\\-7\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{4^2+(-3)^2+5^2}} =\dfrac{\left|\begin{pmatrix}2\\-9\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{50}} =\dfrac{|8+27+0|}{\sqrt{50}}=\dfrac{35}{\sqrt{50}}\ approx 4{.}95\text{ LE} \end{align*}$
Auch beim Abstand zwischen diagonalen Linien gibt es Aufgaben, bei denen ein Abstand vorgegeben ist und Parameter angegeben werden müssen.
Die Berechnungsmethoden ähneln denen zur Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Ebenen. Aufgaben hierzu finden Sie in den Übungen und Lösungsmethoden im genannten Artikel.
Übungsaufgaben
Letzte Aktualisierung: 2.
Dezember 2015; `169; Ina de Brabandt
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